在数学教学中有效渗透猜想验证思想

      猜想验证是一种重要的数学思想方法，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。因此，在小学数学教学中，我们应当重视“猜想验证”这一重要思想方法的渗透与培养。那么，如何在数学教学中有效渗透猜想验证思想呢？笔者通过《角的初步认识》的教学案例来谈谈自己的认识。
片段一：研究角的大小与边的长短无关
1．质疑
师：“（看屏幕）话说小兔和小羊是好朋友，它们一起做了一对大小一样的角，（角先是重合的，边讲边平移开）可是小兔想把角变得更大一些，超过小羊的角，于是，它想呀想，终于想出了一个办法。（演示角的边延长）同学们，猜一猜，小兔的角真的变大了吗？
2．猜想
生a：没有。生b：没有。
师：你们都猜小兔的角没有变大，有什么办法证明呢？
3．验证
生：把两个角合拢比一比就知道了。（演示，把小羊的角平移过来，两角重合了）
4．结论
师：你们真聪明，看来，“角的两边延长，角的大小变了没有？”
生：“角的两边延长，角的大小没有变”
5．质疑
师：真的是这样吗，我们再来验证一下。老师有一把三角尺，你们也有一把三角尺，拿老师三角尺上的一个角与你们的那个角相比，（屏幕演示）谁的角大？
6．猜想
生：一样大。
师：不对呀，老师的三角尺又大又长，怎么会和你们的那个角一样大呢？肯定我的这个角大！
生：不对，不对，角的两边延长，角的大小不变。
7．验证
师：谁来验证一下。
一学生上台，运用重叠法比较。
师：看，他点对点，一条边对一条边，两边都重合了，大小怎样？
生：一样大。
8．结论
师：看来角的大小与什么无关？
生：角的大小与两边的长短无关。
……
片段二：比较角的大小
1．直觉感知
出示两个大小明显的角。
师：角1大还是角2大？
生：角2大。
师：为什么？
生a：因为角2的边张开得比角1大。生b：角的两边张开得越开角越大。
2．提出猜想
出示两个区别不明显的角。
师：猜一猜，角几大？
生a：角2大。生b：角1大。
师：怎么办，意见不同。刚才只是大家的猜想，在我们数学学习中，不仅要猜想，还要学会验证。
3．验证猜想
师：现在，请你利用手中的工具（有活动尺、三角尺、画有两个角的纸），证明自己的猜想是对的，把好多方法介绍给你的同桌。（生活动，教师巡视）
师在巡视中找出好的典型进行介绍。
生a：我用一个活动角拉成一个与第一个角一样大的角，再把它移到第二个角上，把顶点与一条边分别重合，看另一条边，判断出第二个角大。（生边说边演示）
生b：我用三角尺上的一个角比，点对点，一条边对一条边，看另一条边，角1的另一条边在里面，角2的另一条边在外面，角2大。
生c：把纸撕开，对着亮光，点对点，一条边对一条边看，角2大。
……
4．总结归纳
师：其实同学们这些方法归纳起来属于一类，都是间接地把第一个角与第二个角的顶点重合，一条边重合，看另一条边。这种方法我们把它叫做重叠法。（课件演示）
师：今后，在比较两个大小不是很明显的角时，可以用什么方法比较？
生：重叠法。……
案例反思：
一、无声渗透，初步体验
片段一是在研究了“角的大小与两边张开的大小有关”的基础上进行的。首先在学生已有的知识经验、能力水平和学习方法基础上，教师提出质疑，“小兔的角真的变大了吗？”“老师三角尺上的一个角与你们的那个角相比，谁的角大？”，有趣的情境质疑，激发了学生的认知冲突，激活了思维。其次，问题提出后，学生经过思考，结合已有的知识和生活经验提出自己的猜想，这样的思维过程，是充分发挥学生创新能力和主体意识的过程。再次，进行验证。只有猜想没有行动，那只能是空想。学生通过“把两个角合拢比一比”、“把老师和自己的三角尺点对点，一条边对一条边，两边都重合了。”验证了自己的猜想，感到非常满足。通过把猜想与探索实践紧密结合，可以产生猜想的良性循环。最后，得出结论。在较短的时间内，学生两次经历了质疑——猜想——验证——结论的过程，虽然教师在教学过程中并没有直接声明，这就是猜想验证的数学思想，但不知不觉已经渗透了这种数学思想方法，让学生初步体验了猜想——验证——结论的过程。
二、有意渗透，完整经历
在片段二初步体验猜想验证的数学思想方法的基础上，片段二则提出了“数学学习中，不仅要猜想，还要学会验证。学生通过感知——猜想——验证——归纳，经历知识的形成过程，不仅获得了数学结论，更重要的是逐步学会了获得数学结论的思想方法——猜想验证，提高了主动探索、获取知识的能力，增强了学好数学的信心。
1.直觉感知
感知是儿童认识的开始，没有正确的感知就不可能认识事物的本质和规律。
心理学也研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。片段二正是在学生知道了“角的大小与角两边张开的大小有关、与边的长短无关”的情况下再来进行研究的，前面已经有大量的操作、动脑、感知过程，所以刚出示两个大小很明显的角时，学生一下子说明了角2大的原因，在此基础上，再出示第二组角比较，已有的感知能促使学生形成初步的猜想。
2.提出猜想
波利亚有这样一段精彩的论述：“我想谈一个小小的建议，可否让学生在做题之前猜想该题的结果或部分结果，一个孩子一旦表示出某种猜想，他就把自己与该题连在一起，他会急切地想知道他的猜想是否正确。于是，他便主动地关心这道题，关心课堂的进展，他就不会打盹或搞小动作。”在片段二的教学中，我遵循这一特点，让学生猜测两个大小区别不大的角，谁大？引起了学生的争议。这时，老师指出：“刚才只是大家的猜想，在数学学习中，不仅要猜想，还要学会验证。”用什么方法验证呢？老师要求大家用自己的方法验证，学生为了证明自己的猜测，思维马上活跃了起来，都希望通过亲身操作验证了自己的猜想。
3.验证猜想
数学的思想方法是数学的灵魂。波利亚说过“数学首先是猜想，然后才是证实。”不同的学生会有不同的猜想，但都是学生的主动思维的过程，都包含着创新因素。学生为了证明自己所猜的正确，开动脑筋，想尽办法，形成了“人人参与、人人有体验、人人成功”的氛围。
4.总结归纳
验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、议一议，相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地归纳概括出知识结论。如片段二，老师请了方法不同的学生汇报：有的学生用一个活动角拉成一个与第一个角一样大的角，再把它移到第二个角上，把顶点与一条边分别重合，看另一条边，判断出第二个角大；有的用三角尺上的一个角比，点对点，一条边对一条边，看另一条边，角1的另一条边在三角尺的里面，角2的另一条边在三角尺外面，角2大；还有的把纸撕开，对着亮光，点对点，一条边对一条边看，角2大……。其实这些方法无意中都运用了重叠法，为什么会这样呢？这也与片断一中教师有意的渗透有关。最后归纳，当两个角的大小难以区别时，可以用重叠法来比较验证。这样，不但加深了学生对知识的理解，而且突出了比较方法。
猜想已经成为学生当今学习数学的一种重要方式，我们应根据不同的教学内容抓住不同的教学时机，创设猜想情境，让学生大胆猜想，坚持从低年级就开始有效渗透这种数学思想方法，这样，不仅能使学生主动地获取知识，激活创造性思维，也使学生在学习成长的过程中获取了一种重要的数学思想方法。
 

（四川省南江县南江镇第四小学  636600）  陈 平

     （陈平，男，生于1979年8月，小学一级教师，四川省南江县南江镇第四小学办公室主任，县数学骨干，撰写的多篇论文在省级以上刊物发表并获奖。）