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数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,随着数学教学的不断深入,重视数学知识与现实生活的联系,发展学生的数学应用意识和应用创新意识与实践能力已成为数学教育发展的趋势. 数学建模将实际问题抽象转化为数学模型,然后用数学方法求解模型,使问题得到解答,能够帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识与实践能力. 本文谈谈如何在一元一次方程应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程.
一、行程问题中的建模教学。
1. 背景问题。
A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，甲的速度是6千米/时，乙的速度是8千米/时。
（1）若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发几小时后与甲相遇？
（2）若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，问乙多少小时可追上甲？
2.数学建模。
（1）可设乙出发X小时后与甲相遇。则可构建数学模型：相遇时甲走的路程+乙走的路程=20千米。
（2）可设乙y小时追上甲。则可构建数学模型：乙走的路程—甲走的路程=20千米。
3.模型求解。
解：（1）设乙出发X小时后与甲相遇，根据题意得：
6（X+1/2）+8X=20
解得：X=17/14
经检验，符合题意。
答：乙出发17/14小时后与甲相遇。
（2）设乙y小时追上甲，根据题意得：
8y-6y=20
解得：y=10
经检验，符合题意。
答：乙用10小时追上甲。
4.模型应用。
一列火车从车头进隧道到车尾出隧道共用了10分钟，已知火车的速度是500米/分，隧道长为4800米，求这列火车的长度。
二、工程问题中的建模教学。
1.背景问题。
整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
2.数学建模。
如果我们把全部的工作量看做单位1的话，则可构建数学模型：先完成的工作量+后完成的工作量=1。
3.模型求解。
解：设先安排整理的人员有X人，根据题意得：
X/60+2（X+15）/60=1
解得：X=10
经检验，符合题意。
答：先安排整理的人员有10人。
4.模型应用。
甲､乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程. 已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的2/3 ,求甲､乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天?
三、商品利润问题中的建模教学。
1. 背景问题。
某人体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，价格都为135元，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，试问：在这次买卖中，该商贩是赚还是赔，还是不赚不赔？
2.数学建模。
盈利、亏本是相对于进价而言的，先计算出两件上衣的进价，然后根据售价与进价的差构建数学模型：售价-进价﹥0则赚了；售价-进价=0则不赚不赔；售价-进价﹤0则赔了。
3.模型求解。
解：设其中一件上衣进价为X元，另一件上衣的进价为y元，根据题意得：
（1+25%）X=135，（1-25%）y=135
解得：X=108，y=180
因为：135×2-（108+180）=-18﹤0
所以在这次买卖中，该商贩赔了18元。
4.模型应用。
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
数学建模能力的培养不在于某堂课或某几堂课,而应贯穿于学生的整个学习过程,并激发学生的潜能,使他们能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法,真正提高数学能力与学习数学的能力. 数学应用与数学建模,其目的不是为了扩充学的课外知识,也不是为解决几个具体问题进行操作,而是要通过教师培养学生的意识,教会学生方法,让学生自己去探索､研究､创新,从而提高学生解决问题的能力,让数学进入生活,让生活走进数学.
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