思考方法总结---（6）整体看问题
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小朋友们都知道“只见树木，不见森林”这样一个成语故事。这个成语的意思是说有的人看问题时只把眼光盯住一件事物，而不能高瞻远瞩，从整体和全局上去观察、分析个别事物与其它事物之间的联系。有的小朋友解数学题时，也容易犯这样的错误，结果一道本来并不难的题也感到缺少条件，束手无策。所以，我们要向数学家学习，从整体上观察思考，全面地审题。
【例1】有甲、乙、丙三种货物。如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱？ 【分析与解】0数学家在分析这个问题时，同一般人不一样。在数学家眼中，“X1+X2+X3”可以看成一个整体，“求X1＋x2＋x3 =？”与“分别求X1=？，X2=？，X3=？”是两回事。如果用题中的条件直接能求出X1＋X2＋X3这个“和”，那么，把X1、X2、X3分别求出来再相加，就是“绕弯路”、“自讨苦吃”了。 由已知条件可得： 买甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 ① 买甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 ② 要想求出买甲1件，乙1件，丙l件，共需花多少钱，必须使上述①与②中对应的“件数”相差1。为此，可转化已知条件： 将条件①中的每个量都扩大3倍，得： 买甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 ③ 将条件②中的每个量都扩大2倍，得： 买甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 ④ 所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为 9.45-8.40=1.05（元） 这个解题方法的美妙之处在于：不在“买每一件货物分别需多少钱”的局部兜圈子，而是从整体角度考虑问题。当采用“各个击破”的解题方法难以奏效时，数学家常常用这种“整体看问题”的眼光来处理问题。就是根据题目特点，不纠缠于题目的局部或者细节，而是统观全局，从整体出发来设计解题方案。这样，往往会收到事半功倍的效果。 =0.25×19＋0.75×27 =0.25×19＋0.25×3×27 =0.25×（19＋81） =25 问它们分别代表哪些数字？ 别作为一个整体（三位数），就可以把求六个未知数字的问题转化为求两个三位数的问题，这样解题一定能方便得多。 3×（1000×a＋b）＝4×（1000×b＋a） 对上式计算、整理得：2996×a=3997×b 再化简得： 428×a=571×b 因为a和b都是三位数，而且428与571互质，所以要使乘积“428×a”与“571×b”相等，必须使a=571，b=428。B、I、D、F、O、R这六个字母分别代表5、7、1、4、2、8六个数字。 【例4】“ 2×3×5×7×11×13×17”的各位数字之和是多少？ 【分析与解】 解这道题的一般思路是先算出这个连乘式的结果，再把它各位上的数字相加。但这是一道“华杯”赛决赛的一道口试题，要求在1分钟内报出答案。在口试中，规定时间内答不出题是不能得分的。怎么办呢？ 办法是有的。只要把算式中的每个数都仔细观察一番，抓住这些数字特点，可以绕开“把7个数连乘”这段弯路。 你看，式中有 2，又有 5， 2×5=10，10与其它 5个数的积相乘，只要在末尾添个0，不影响各位上的数字和。 再看看，式中有7，11，13。你如果记得：7×11×13=1001，而1001与位数比它少的自然数相乘，积的各位上除0以外，就是这个数重复一遍，如 51×1001=51051。题中7个数除2，5，7，11，13外，还有3×17=51。所以，本题的答案为（5＋1）×2=12。 要提高解题的速度，当然离不开头脑反应快。但更重要的是认真全面地审题，想方设法“走近路”。另外，平时看课外书时还要注意积累，弄懂了，记牢了，解题时还要知道应用它。 【例5】 如图14－1，正方形的面积是50平方厘米，三角形ACD的两条直角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形的面积是多少平方厘米？ 想方设法去找“底”和“高”。但题目中只告诉了“底”和“高”的关系，“底”和“高”的实际长度都是未知量。因此，仅仅盯住这个三角形不行。
如果从整体上看图14-1，就可发现：三角形的一条直角边也是正方形的一条边，它的长等于正方形的边长。设正方形的边长是a，那么，
所以，直接可求得三角形的面积是：
有许多关于几何图形的计算问题，更需要全面细致地观察整个图形，并在此基础上分析图中各部分的关系，通过“公共”部分，“牵线搭桥”，问题才容易得到解决。 【例6】如图14-2，长方形的长是12厘米，宽是6厘米。把长三等分，宽二等分，并把长方形内任意一点与所有的等分点及四个顶点全部连接起来。求阴影部分面积占空白部分面积的几分之几？
【分析与解】只要分别求出阴影部分和空白部分面积，其中空白部分的面积可由长方形面积减阴影部分面积得到。 先求阴影部分的面积。甲、乙、丙、丁四个三角形的底边（落在长方形长或宽上）的长度分别是（12÷3=）4厘米，（6÷2=）3厘米，4厘米，3厘米，设与它们相对应的高分别是h1、h2、h3、h4，那么， 乙、丙、丁四个三角形的面积是困难的。但从整个图形来观察，我们可以发现甲、丙两个三角形及乙、丁两个三角形之间有着密切的联系，这就是：h1＋h3=6（厘米）；h2＋h4=12（厘米）， 从而S甲＋S丙=2h1＋2h3 =2×（h1＋h3）=2×6=12（平方厘米） S阴影=（S甲+S丙）+（S乙+S丁） =12+18=30（平方厘米） 再求空白部分面积：12×6-30 =42（平方厘米） 【例7】以三角形的三个顶点为圆心，画半径是1厘米的三个圆（如图14－3）。求阴影部分面积的和。
【分析与解】从整体上看就会发现，阴影部分是三个扇形，它们的圆心角分别为三角形的三个内角，和为180度，各阴影部分拼起来恰好是一个半圆的面积： =1.57（平方厘米） 【思考题】 一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑100米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米？ [提示：不需要把狗每趟所跑的路分别算出来，只要用它的速度乘以一共所跑的时间。] |
加
=0.25×3”这个特点，对算式进行合理变形，并得出巧妙的解法。这就是：
