思考方法总结---（1）分 类

【分析与解】图1-1中的线段可分为这样几类：

（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：

　　AB，AC，AD，AE；

（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：

　　BC，BD，BE；

（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：

　　CD，CE；

（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。一共有线段

　　4+3+2+1=10（条）。

还可以把图1-1中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。“基本线段”指AB、BC、CD、DE这样的线段，它们的两个端点之间没有标出其它的分点。按所含“基本线段”来分类，也是4类：

（1）只含1条基本线段的，共4条：

　　AB，BC，CD，DE；

（2）含有2条基本线段的，共3条：

　　AC，BD，CE；

（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；

（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。

分类，对于计数来说十分重要，因为当计数的对象没有规律地交错排列时，它能使我们的思考方向明确，条理清晰，而不容易发生差错。

【例2】 数一数，图 1-2中共有多少个正方形？

【分析与解】图中的正方形可以分为两大类，第一类是“不斜的”，第二类是“斜着的”。在“不斜的”正方形中，又可分4类：

　　①边长是4个单位的1个；

　　②边长是3个单位的4个；

　　③边长是2个单位的9个；

　　④边长是1个单位的16个。

　　共有 1+4+9+16=30（个）

　　斜着的正方形共有多少个呢？

我们还是先分类。分类之前，应当注意到这样一个图（图1-3），中间画实线的部分与图1-2中不含斜线（不斜的）部分相同。因此，在“斜着的”正方形中，也可分4类，但边长是1个单位、边长是2个单位的比“不斜的”多，边长是3个单位、4个单位的与“不斜的”同样多，它们分别是：

　　①边长是4个单位的1个；

　　②边长是3个单位的 4个；

　　③边长是2个单位的（9+4=）13个；

　　④边长是1个单位的（16+8=）24个。

　　斜着的正方形共有

　　（1+4+9+16）+（4+8）=42（个）。

　　因此，图1-2中的正方形一共有

　　30+42=72（个）。

【例3】如图1-4，平面上有9个点，任意相邻两点之间的距离都相等，如果把其中任意几个点连起来，可得到各种图形。问：（1）可连成多少正方形？（2）可连成多少长方形？（3）可以组成多少直角三角形？

【分析与解】（1）可连成的正方形共有3类：边长是1个单位的，共4个；边长是2个单位的，有1个；边长等于小正方形对角线长的（斜的）有1个。所以，共可连成正方形：

　　4+1+1=6（个）

（2）可连成的长方形共有两类，一类是正方形（因为正方形是特殊的长方形），另一类是长和宽不等的长方形，有4个。所以共可连成的长方形有：

（3）可组成的直角三角形有两类：

一类是，以每个长方形（包括正方形在内的）4个顶点为直角顶点（如图5、图6中阴影部分），这样的直角三角形每个正方形中都包含4个，一共有：

　　（6+4）×4=40（个）

另一类是，以图1-4中第二行中间那个点为直角顶点（如图1-7中阴影部分），这样的直角三角形共有：

　　1×4=4（个）

因而，用图1-4中的点共可连成直角三角形：

　　40+4=44（个）

请读者想一想：任意一个正方形（如图1-8），作出它的两条对角线以后可组成的直角三角形应当是8个，其中以4个顶点为直角顶点各1个，以对角线的交点为直角顶点有4个。为什么在上面的“分析”中只举出4个。是不是有遗漏？为什么？

【例4】 数一数，图1-9中共有____个梯形。

【分析与解】 要数出图中梯形的个数，首先要弄清楚图中的梯形共有几类。根据梯形的概念（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形），图1-9中的梯形可分为4类：

　　（1）上底、下底与BC平行，并且上底短、下底长的；

　　（2）上底、下底与BC平行，并且上底长、下底短的；（3）上底、下底与AB平行的；（4）上底、下底与DC平行的。

　　在第（1）类中，又可把这些梯形分成4小类（假设AD的长为1个单位）：

　　①下底长是5个单位的，有：

　　4×1=4（个）

　　它们都以BC为下底，AD、EF、GH、IJ为上底；

　　②下底长是4个单位的，有：

　　3×（2+1）=9（个）

　　它们分别以BL、KC和IJ为下底，对于每个下底，上底都有三种可能。比如，以BL为下底的梯形，上底可为IM、GN、EO；

　　③下底长是 3个单位的，有：

　　2×（3+2+1）=12（个）

　　它们分别以 BQ、KL、PC、IM、SJ、GH为下底，对每个下底，上底都有两种可能；

　　④下底长是2个单位的，有：

　　1×（4+3+2+1）=10（个）

　　所以，第（1）类梯形共有：

　　4+9+12+10=35（个）

　　用同样的方法，我们可以数出第（2）类梯形（底与BC平行，上底长、下底短的）有：

　　1+4+6=11（个）

它们的上底分别为4个单位、3个单位、2个单位；第（3）类梯形、第（4）类梯形各有36个。从而，得到图1-9中共有梯形：

　　35+11+36+36=118（个）

想一想：对于第（3）类和第（4）类，我们没有像第（1）、（2）两类那样，按上底长、下底短和上底短、下底长再作分类，这样会不会遗漏一部分梯形？为什么？

其实，除了数图形之外，其它的计数问题也离不开“分类”这种重要的思路。

【例5】 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？

【分析与解】在算盘上，上珠一个表示5，下珠一个表示1。根据这两点，可以把两粒珠子在算盘上的位置分为3类：

　　（1）都为上珠时，组成505， 550；

　　（2）都为下珠时，组成101，110，200；

　　（3）一个上珠、一个下珠时，组成510，501，105，150，600。

【例6】从 1，2，3，……，99，100中，选出两个数相加，使它们的和大于100，共有多少种不同的选法？

【分析与解】 我们把“选数”看作一件事，做这件事可有99类方法。第1类，第一个数选1，那么第二个数只能选100，共1种选法；第2类，第一个数选2，第二个数可选100，也可选99，共2种选法；……依此类推，99类选数方法如下：　

　　………………

　　第98类（98，99）、（98，100）2种

　　第99类（99，100）1种

　　一共有：

　　1+2+3+……+49+50+49+48+……+2+1

　　=2500（种）

　　不同的方法。

在例2的分析中，关键是怎样正确地分类。我们这里分类的标准是：每次选的两个数中，总是后一个比前一个大。为什么后一个不能比前一个小或与前一个相等呢？这是为了防止重复。比如在第 50类中选了（50，51），在第 51类中不能再选（51，50），因为（50，51）与（51，50）是一种选法。也正由于这个原因，到了第 51类以后，选法越来越少了。

【例7】 有一种用六位数表示日期的方法，例如，用950208表示 1995年2月8日。用这种方法表示1994年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有____天。

【分析与解】 1994年全年的日期用六位数表示，头两位数字一定是“94”，因此 9月份和 4月份的所有日期都不符合要求。 11月份的所有日期也不符合要求。所以，只依次有1、2、3、5、6、7、8、10、12这九个月中的一些日期符合要求分九类一一列举（如下表）：

　　续上表

分类计数的关键是正确分类，要做到“正确”，应考虑两条：

（1）分类要全。分类不全，就会造成遗漏。在上面的例4中，如果稍不留心，就会忘记第3类和第4类。分类确定后，要把每一类中的每一个符合要求的对象都列举出来。

（2）分类要清。如果分不清，第1类中有第2类，互相包含，那就会重复。例6中，我们强调了分类的标准是“后一个数比前一个大”，正是为了防止重复。不然的话，后面列举的数对就会与前面列举过的重复了。　　

【思考题】

1.数一数，图1-10中，共有多少个三角形？

  [提示：分“尖向上”、“尖向下”两大类，“尖向上”的三角形与“尖向下”的三角形同样多。“尖向上”的三角形又可分为3类，其中边长为1个单位的有“3+4+3+2”个；边长为2个单位的有“3+2+1”个；边长为3个单位的有1个。]

2.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？

  [提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。]