再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版)——不识“更无理”数必使人犯极低级错误

再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版)——不识“更无理”数必使人犯极低级错误
黄小宁
（通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631
   早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。
   一再获此发现的关键是常识：变量必可遍取变域内的每一数即必可将变域内的数全部取出。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的思想方法。要害是破解数学难题如破案，要过细，粗枝大叶往往搞错：将非0误差定义为0误差。
太使人承受不了的发现来自于太浅显的常识：由大到小取值的变量要取出x必先将变域内一切比x大的数全部取出。
一、对变量与无穷集不能只有一知半解的肤浅认识，更不能有错误的认识
    无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数a与b。变域为B的x由大到小一次次取值，必能有最后一次的取值：取到a后就无数可取了。即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。地球与宇宙相比是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小天体，但其与人相比又是有穷小天体。这是宇宙中“无穷”与“有穷”的对立统一性。又例如无限可分的原子就是“小宇宙”。人不可将无穷集内的数全部取出，≠相应变量不能。对人而言B内数多得取之不尽，但相应的变量x却可取尽B内数，正如人制造的机器人能干人所不能干的事一样。此由大到小取值的x必取尽无穷集(a，b)的一切数后才取a,即其必取至再也无除a外的任何数可取了,才取a。数学有定理断定此x在→a的过程中总与a相隔无穷多个属B的数，即说其总远远不能取尽“吃光”a与b之间的数，从而更不能到达a处。这显然是违反起码数学常识的定理。所以如[1]所述在B中必有紧贴a的数x＞a与a之间没有任何可取的数了。同理B各元x必有与之紧贴的数。  限于篇幅本文只揭数学内违反常识的错误的冰山一角。
     关键：变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。凡变量必有变域，无穷大是取数的变量。
由大到小取值的y=x·x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的x必取0之后才能取负数一样。由一切非负实数组成的数集中有最小数0，同理，在无穷集H中必有最小正数y=c。y取c后就无正数可取了。因为若说此y取正数的过程没完没了，显然就是说其不可取尽变域的一切正数，从而更谈不上能取0。这显然违反起码数学常识。所以在H中并非任何正数y都有同属H的对应数y/2等。如根号2不能纳入有理数系内一样，有太小正数也不能纳入H内。
      对无穷现象的幼稚认识使世人误以为有首项的无穷数列必无末项。设空箩筐K装进了无穷数列A：1，2，3，…，n，n+1，…的一切数， 这一切数组成数集D。变域为D的n必能由小到大地将D内数全部取出，从而使K变得空无一数。若K内总有数，那就表明相应的变量不能将K内数全部取出，即其变域必非D。说变量n每取出一数n（n所取各数也均由n代表）后，K内总至少还剩有一数n+1，即K总不能变空，显然就是说此n不能将K内数取尽。能将K内数取尽的n在由小到大取值的过程中必能取至一n后就无数可取了，此n的后继n+1不属D；此n显然就是数列A的末项。文献[1]论证了任何正数集均有该集的最小、大正数。小学生也一眼看出y = n+1＞n=1，2，3，……表达y可＞数列A的一切数，即其必可取D外数y＞D的一切数n。可见表达式限制式中n不可取一切非0.自然数。形成鲜明对比的是n-1＜n=1，2，3，……中的n就可取一切自然数。不能头脑简单地断定数列A包含一切非0自然数啊！这充分说明：①D内必有一n的后继n+1是D外数。②若D各元n均有对应数n+1，则并非这所有的n+1都还在D内。即n+1的变域不是D的真子集。
    因为A是无穷数列，所以A中必有n与1相隔写不完的那么多个自然数，此n＞“任给定”正数M显然是无穷大自然数。否定此事实与否定根号2是无理数一样都是极荒唐的。极限论断定n→∞变至后来所取各数n均＞任意给定的正数M = 1/ε。极限论断定无穷数列{1/n}中从某项开始以后各项均＜“任意给定”的正数ε。正实变量x→0从某时刻起以后所取各正数x均＜ε。可见，极限论间接断定有正数＜ε及有其倒数。不明此理者对极限论的认识还很肤浅。这使数学一直存有起关键作用而又用而不知的“特异”数，正如原始人对氧气一直用而不知一样。不懂这类数就不懂微积分的精髓。
     “不能将D内数取完”本身就表示取数的变量的变域绝非D。若每打死一只狼n都必有一前仆后继的后继狼n+1扑上来，则打不尽狼决不下岗的战士永不能下岗，因其不能将狼打尽。所以能打尽狼的战士必能打至一狼n后就无狼可打了。即在狼群D中并非每只狼n都有后继n+1∈D。根据变域的定义，凡变量必能有序地取完变域内的一切数。据此，D内必有最大的n。又例如：在“分形几何”中有一“柯赫岛折线”是闭折线，它所围成的图形的面积是一常数，而图形的周长却是>“任给定正数”M的“无穷大数”。将折线剪断拉直，就成为无穷长直线段了。这是有始点与终点而长度却是无穷大的直线段l。否则此l就不能还原为原来的闭折线了。数学中只能在自然数集N内取值的n可→∞表明N内暗含有＞M的数。

将不能将D内数取尽的变量的变域误以为是D就是搞错了变量的变域。这是根本性的错误。没能及时发现，就必引出一连串的重大错误。例如康脱推出D各元可与其真子集各元一一对应。
    文献[2]：“|Cn|可以变得超越任何有限数（对随便什么M＞0,它都能变得比M大），…{Cn}的极限是∞。”这“超越任何有限数”的|Cn|＞M显然是只能与无穷长直线段相对应的无穷大正数。
     无穷数列0.1，0.01，0.001，……的各项均为正数且第n项是n位小数，数列的任何小数都有末尾且末尾都是1，各末尾外的数字都是0。由于这是无穷数列，故其必有无穷多个小数位的无穷小正数0.00…01＜ε（1与小数点相隔写不完的那么多个0）。然而这却是有头有尾的一串数字。不明此理者不知何为无穷数列、不知何为极限论。无穷数列的各项均为具体的、确定的数。可见有无限长的数列0，0，…，0，1。极限论断定无穷数列{n}中从某项起以后各项均＞M。
二、不明以上真相的数学教师以讹传讹误人子弟
   由1÷3的除法运算可知
1=3·0.3+余数0.1
 =3·0.33+余数0.01
 =3·0.333+余数0.001
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 =3·0.33…3+余数0.00…01（省略号表示的0多得写不完）
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   1÷3除不尽说明以上各个余数全不为0。以上余数组成的无穷数列F={1/10的n次方}，其n＞1/ε=M的各项均为形如0.00…01（n＞M位小数）的无穷小正数＜ε。所以定义无穷多个9的0.999…=1就是定义数列F中的无穷小数为0——这显然是常识性错误！同理，定义0.33…=1/3也是常识性错误！…。F中显然有无穷多个无穷小正数。
不少小学生均能根据以上余数均非0而正确地察觉到形如0.99…的数无限逼近1，但≠1。然而老师们却硬说学生们不对。定义1/10的n次方→0能到达0处，显然是常识性错误。真相是1=0.99…9+非0余数0.00…01（两项均为n=n0＞M位小数）。注：变量n＞M所取各数均为＞M的无穷大自然数。0.99……表示的是一类数而非一个数。
     以上表明无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数。由发现无理数到发现更无理数竟须历时2500年！但小学生们能一眼看出0.99…无论有多少个9都≠1。数列F是无穷数列的标志是数列中有无穷多个小数位的无穷小正数。
    以上表明定义无穷级数0.9+0.09+0.009+…的所有项的和=…的极限1，是错误的定义。无限逼近与重合相等是两个根本不同的概念。由上可见任何已知实数x均有无穷多与之无限逼近而又不重合的“特异”数x±a（a＜ε且＞0）。故已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！没有受到以球为宇重大错误误导的小学生能一眼看出……。受错误知识严重伤害的“官科”的知识水平远不如…啊！康脱将有无穷多个正数的“基本数列”F定义为一个数0。小学生也一眼看出这是典型的以球为宇的思想方法。
     反复强调：无限长的数列也可有首末项。0.00…01（由写不完的0与1个1组成）+相应的0.99…=1。数列F某项=1—0.99…=0.00…01=dx的数字0多得写不完，但不能因此断定小数点后面全是0。否则就误以为1/dx=1/0了。dy=dx/100<<正数dx表明dx也有 相比下>>0的性质。微分是取数的变量！
参考文献
[1] 黄小宁  再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库，北京：中国大地出版社：2004.10:814
[2] 周伯壎  数列与极限，江苏人民出版社，1978.12：27。
[3] 黄小宁  小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误,学习方法报·教研版，2002.12.27第345期。
[4] 黄小宁  小学数学显示无限循环小数并非有理数，见：中国学校教育研究·数学卷，北京：中国统计出版社，2001.12:103。

完成于2006.3.22
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